Question

已知：函数f（x）=-x³+ax²-4（a∈R）．
（1）函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线的倾斜角为，求a的值；
（2）若存在x∈（0，+∞）使f（x）＞0，求a的取值范围．

Answer

（1）求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，然后再根据切线的倾斜角求出切线的斜率，两个斜率相等即可求出a的值；
（2）求出f（x）的导函数，当a小于等于0时，由x大于0，得到导函数小于0，即函数在（0，+∞）上为减函数，又x=0时f（x）的值为-4且当x大于0时，f（x）小于-4，所以当a小于等于0时，不存在x＞0，使f（x）＞0；当a大于0时，分区间讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到f（x）的最大值，让最大值大于0，列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范围，综上，得到满足题意a的取值范围．
【解析】
（1）依题意，∴-3+2a=1，即a=2．（4分）
（2）．
①若a≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，+∞）上单调递减．又f（0）=-4，则当x＞0时，f（x）＜-4．
∴a≤0时，不存在x＞0，使f（x）＞0．（8分）
②若a＞0，则当时，f'（x）＞0，当时，f'（x）＜0．从而f（x）在上
单调递增，在上单调递减．∴当x∈（0，+∞）时，
=，据题意，，即a3＞27，∴a＞3．
综上，a的取值范围是（3，+∞）．（12分）