Question

已知数列．
（Ⅰ）令b_n=2ⁿa_n，求证数列{b_n}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）将已知关系式变形得出  （n≥2）由此当n≥3．时，两式相减并构造得出2nan=2n-1an-1+1，再利用等差数列定义进行判断证明即可．（Ⅱ） 由（Ⅰ）得出，从而，利用错位相消法求和即可．
【解析】
（Ⅰ）∵．
即，，n≥3．
两式相减得，即2nan=2n-1an-1+1…（3分）
∵bn=2nan，∴bn=bn-1+1（n≥3），即当n≥3时，bn-bn-1=1，
又b1=2a1=1，2（a1+a2）=a1-+2，得a2=，∴b2=4a2=2，∴b2-b1=1，
∴数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列…（5分）
于是bn=1+（n-1）•1=n=2nan，∴…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以
所以…（5分）
①
②…（8分）
由①-②得…（10分）
=
∴…（12分）