Question

已知：函数f（x）=-x（x-a）²  （a∈R）
（1）求a=1时曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程
（2）当a＜0时，求函数f（x）的极小值
（3）是否存在实数a，使得f（x）在[-1，1]上单调递增．若存在求出a，若不存在请说明理由．

Answer

（1）当a=1时f（x）=-x3+2x2-x，得f′（x）=-3x2+4x-1，当x=2时y=-2，得切点为（2，-2）得切线的斜率k=-5；
（2）f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（x-a）（3x-a），再研究导数为0时，左右附近的正负情况即可；
（3）欲使f（x）在[-1，1]上单调递增，只需f′（x）≤0在[-1，1]上恒成立，利用分离法将a分离出来，求出不等式另一侧的最大值，即可求出a的范围．
【解析】
（1）当a=1时，f（x）=-x（x-1）2=-x3+2x2-x∴f'（x）=-3x2+4x-1∴f'（2）=-5，f（2）=-2∴切线方程：y+2=-5（x-2），即：5x+y-8=0（4分）
（2）∵f（x）=-x（x-a）2=-x3+2ax2-a2x∴f'（x）=-3x2+4ax-a2=-（x-a）（3x-a）（5分）
则f（x），f'（x）的关系如下表表示：

（-∞，a） a
f'（x） - + -
f（x） ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘

∴f（x）的极小值=f（a）=0（8分）
（3）∵f（x）=-x（x-a）2在[-1，1]上单调递增，则f'（x）=-3x2+4ax-a2≥0在[-1，1]恒成立         （9分）
∴∴a无解          （13分）
综上，不存在实数a，使得f（x）在[-1，1]上单调递增         （14分）