Question

已知M是正四面体ABCD棱AB的中点，N是棱CD上异于端点C，D的任一点，则下列结论中，正确的个数有（ ）
（1）MN⊥AB；               （2）若N为中点，则MN与AD所成角为45°；
（3）平面CDM⊥平面ABN；      （4）存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

连接CM、DM，可证明出AB⊥平面CDM，从而MN⊥AB，得（1）正确；取AC中点E，连接EM、EN，利用三角形中位线定理证明出EN、NM所成的直角或锐角，就是异面直线MN、AD所成的角，再通过余弦定理，可以求出MN与AD所成角为45°，故（2）正确；根据（1）的正确结论：MN⊥AB，结合平面与平面垂直的判定定理，得到（3）正确；对于（4），若存在点N，使得过MN的平面与AC垂直，说明存在N的一个位置，使MN⊥AC．因此证明出“不论N在线段CD上的何处，都不可能有MN⊥AC”，从而说明不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
【解析】
（1）连接CM、DM
∵正△ABC中，M为AB的中点
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB，结合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM，而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB，故（1）是正确的；
（2）取AC中点E，连接EM、EN
∵△ADC中，E、N分别是AC、CD的中点
∴EN∥AD，EN=AD．
∴EN、NM所成的直角或锐角，就是异面直线MN、AD所成的角
设正四面体棱长为2a，在△MCD中，CM=DM=
则Rt△MNC中CN==a
∴
在△MNE中，ME=EN=
∴
∴∠ENM=45°，即异面直线MN、AD所成的角是45°，故（2）正确；
（3）由（1）的证明知：AB⊥平面CDM
∵AB⊂平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM，故（3）正确；
（4）若有MN⊥AC，根据（1）的结论MN⊥AB，
因为AB、AC相交于A点，所以MN⊥平面ABC
∵△MCD中，CM=MD=，CD=2a
∴cos∠CMD=
可得∠CMD是锐角，说明点N在线段CD上从C到D运动过程中，
∠CMN的最大值是锐角，不可能是直角，
因为CM⊂平面ABC，CM与NM不能垂直，
以上结论与MN⊥平面ABC矛盾，
故不论N在线段CD上的何处，都不可能有MN⊥AC．
因此不存在点N，使得过MN的平面与AC垂直．
综上所述，正确的命题为（1）（2）（3）
故选C