Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知．
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C、C₁）上确定一点E的位置，使得二面角B-AB₁-E的余弦值为，并说明理由．

Answer

（1）要证明C1B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC1AB⊥，由AB⊥侧面BB1C1C就可以解决；而要证明C1B⊥BC；则需要通过解三角形来证明
（2）过点E作EG⊥BB1于点G，过点G作GH⊥AB1于点H，则∠EHG为所求二面角的平面角，，设CE=x，列出相应的方程并探讨解的情况．
证明：（1）因为AB⊥侧面BB1C1C，故AB⊥BC1，
在△BC1C中，由余弦定理有：
=，
故有BC2+BC12=CC12∴C1B⊥BC，
而BC∩AB=B且AB，BC⊂平面ABC，
∴C1B⊥平面ABC；
（2）∵AB⊥面BB1C1C
过点E作EG⊥BB1于点G，过点G作GH⊥AB1于点H，则∠EHG为所求二面角的平面角，设CE=x，则，得
在面ABB1A1中，
所以，得x=1，即E为中点