Question

（1）已知a²+b²+c²=1，x²+y²+z²=9，ax+by+cz≤t，求t 的最小值．
（2）求直线（t为参数）被双曲线x²-y²=1截得的弦长．

Answer

（1）利用题中条件构造柯西不等式（ax+by+cz）2≤（ a2+b2+c2）（ x2+y2+z2）这个条件进行计算即可．
（2）将直线的参数方程变形后代入x2-y2=1，得关于参数的一元二次方程，结合根与系数的关系及参数的几何意义即可求出被双曲线x2-y2=1截得的弦长．
【解析】
（1）柯西不等式得：u2=（ax+by+cz）2≤（ a2+b2+c2）（ x2+y2+z2）=1×9=9．u=ax+by+cz≤3，
故u=ax+by+cz的最大值为3，从而t的最小值为3  …（7分）
（2）（t′=2t为参数），
代入x2-y2=1，得：=1，
整理得：t'2-4t′-6=0，设其二根为 t1'，t2'，则 t1'+t2'=4，t1'•t2'=-6，从而弦长为
|AB|=|t1'-t2'|=…（7分）