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已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B...

已知椭圆manfen5.com 满分网的左、右焦点分别为F1、F2,短轴两个端点为A、B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:manfen5.com 满分网为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)由题意知a=2,b=c,b2=2,由此可知椭圆方程为. (2)设M(2,y),P(x1,y1),,直线CM:,代入椭圆方程x2+2y2=4,得,然后利用根与系数的关系能够推导出为定值. (3)设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP.,再由,由此可知存在Q(0,0)满足条件. 【解析】 (1)a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2; ∴椭圆方程为(4分) (2)C(-2,0),D(2,0),设M(2,y),P(x1,y1), 直线CM:,代入椭圆方程x2+2y2=4, 得(6分) ∵,∴(8分) ∴(定值)(10分) (3)设存在Q(m,0)满足条件,则MQ⊥DP(11分) (12分) 则由,从而得m=0 ∴存在Q(0,0)满足条件(14分)
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考点分析:
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②命题“∃x∈R,x2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x2+1<3x”;
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④若manfen5.com 满分网 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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