已知椭圆
的左、右焦点分别为F
1、F
2,短轴两个端点为A、B,且四边形F
1AF
2B是边长为2的正方形.
(1)求椭圆的方程;
(2)若C、D分别是椭圆长的左、右端点,动点M满足MD⊥CD,连接CM,交椭圆于点P.证明:
为定值.
(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP、MQ的交点,若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
考点分析:
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设函数f(x)=px-
-2lnx,且f(e)=pe-
-2,(其中e=2.1828…是自然对数的底数).
(1)求p与q的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围;
(3)设
,若在[1,e]上存在实数x
,使得f(x
)>g(x
)成立,求实数p的取值范围.
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如图,D、E分别是正三棱柱ABC-A
1B
1C
1的棱AA
1、BB
1的中点,且棱AA
1=8,AB=4.
(Ⅰ)求证:A
1E∥平面BDC
1;
(Ⅱ)在棱AA
1上是否存在一点M,使二面角M-BC
1-B
1的大小为60°,若存在,求AM的长;若不存在,说明理由.
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甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84
乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据,并写出乙组数据的中位数;
(Ⅱ)经过计算知甲、乙两人预赛的平均成绩分别为
,
,甲的方差为 s
甲2=35.5;现要从中选派一人参加数学竞赛,你认为选派哪位学生参加较合适?请说明理由;
(Ⅲ)若将预赛成绩中的频率视为概率,对甲同学今后3次的数学竞赛成绩进行预测,记这3次成绩中高于80分的次数为ξ,求ξ的分布列及数学期望.
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在△ABC中,已知A=45°,
.
(Ⅰ)求cosC的值;
(Ⅱ)若BC=10,D为AB的中点,求CD的长.
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下列说法正确的是
.(写出所有正确说法的序号)
①若p是q的充分不必要条件,则¬p是¬q的必要不充分条件;
②命题“∃x∈R,x
2+1>3x”的否定是“∀x∈R,x
2+1<3x”;
③设x,y∈R.命题“若xy=0,则x
2+y
2=0”的否命题是真命题;
④若
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