Question

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N^*，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为常数，且m＞0）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比q=f（m），数列{b_n}满足b₁=2a₁，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求证：数列{b_n²}的前n项和．

Answer

（1）当n≥2时根据an=Sn-Sn-1化简整理得，根据等比数列的定义即可判断数列{an}为等比数列．
（2）由（1）可求得q和a1，进而求得b1，根据bn=f（bn-1）整理得即进而判断数列为等差数列，根据首项和公差，进而可得数列的通项公式．
（3）根据（2）先可得出数列{bn2}的通项公式再根据，通过裂项法求和即可证明原式．
（1）证明：当n=1时，a1=S1=（m+1）-ma1，解得a1=1．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=man-1-man．
即（1+m）an=man-1．
∵m为常数，且m＞0，∴（n≥2）
∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．
（2）【解析】
由（1）得，q=f（m）=，b1=2a1=2．
∵，
∴，即（n≥2）．
∴是首项为，公差为1的等差数列．
∴，即（n∈N*）．
（3）证明：由（2）知，则．
所以Tn=b12+b22+b32++bn2=，
当n≥2时，，
所以=．