Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CC₁=3，BC=4，G是AB₁和A₁B的交点，若C₁G⊥A₁C．
（I） 求CA的长．
（II） 求点A到平面A₁BC₁的距离；
（III） 求二面角C₁-A₁B-C的大小．

Answer

（I）轴建立空间直角坐标系，设出点的坐标，即可得到=（2，-，-），=（0，-3，-h），进而结合题意得到h=3．
（II）设平面A1BC1得法向量=（a，b，c），根据题意求出=（3，4，0），递减向量的射影进而求出点A到平面A1BC1的距离．
（III）设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），由题意可得=（0，1，-1），再利用向量之间的有关运算求出两个向量的夹角，进而转化为二面角的平面角得到答案．
【解析】
（I）分别以直线C1B1、CC1、C1A1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
设|CA|=h，则C1（0，0，0），B1（4，0，0），B（4，-3，0），C（0，-3，0），A1（0，0，h），A（0，-3，h），G（2，-，-）
∴=（2，-，-），=（0，-3，-h）
∴•=0，
∴h=3
（II）设平面A1BC1得法向量=（a，b，c），
由题意可得：，
所以，即，
 则取=（3，4，0），
∴点A到平面A1BC1的距离为h=||=…（8分）
（III）设平面A1BC的法向量为=（x，y，z），
由题意可得：，，
所以，即，
 则可求得=（0，1，-1），
∴二面角C1-A1B-C的大小θ满足cosθ==
∴二面角C1-A1B-C的大小为arccos