Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率e=，P₁为椭圆上一点，满足•=0，•=，斜率为k的直线l 过左焦点F₁且与椭圆的两个交点为P、Q，与y轴交点为G，点Q分有向线段所成的比为λ．
（I） 求椭圆C的方程；
（II） 设线段PQ中点R在左准线上的射影为H，当1≤λ≤2时，求|RH|的取值范围．

Answer

（1）先设||=r1，||=r2，•=0，利用△P1F1F2为直角三角形，得出r1cos∠F1P1F2=r2，利用向量的数量积公式即可得到r2=，从而得 =，又e==，解得a，b．最后写出椭圆C的方程；
（2）可求得|RH|关于k的表达式，在y=k（x+1）中，令x=0，得G（0，k），由定比分点坐标公式⇒k2=（3λ2+8λ+4），显然f（λ）=3λ2+8λ+4在[1，2]上递增，从而求得|RH|的取值范围．
【解析】
（1）设||=r1，||=r2，•=0，
△P1F1F2为直角三角形且∠P1F2F1=90，则r1cos∠F1P1F2=r2，
由•=⇒r1r2cosF1P1F2=⇒r2=
由（2a-）2=+4c2得 =，又e==，解得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为+=1
（2）可求得|RH|=3+
在y=k（x+1）中，令x=0，得y=k，即得G（0，k），
由定比分点坐标公式⇒k2=（3λ2+8λ+4），
显然f（λ）=3λ2+8λ+4在[1，2]上递增，
∴≤k2≤24，∴3≤|RH|≤3即为|RH|的取值范围．