Question

在如图所示的几何体中，△ABC为正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F为BE的中点．
（I）求证：DF∥平面ABC；
（II）求证：平面DBE⊥平面ABE；
（III）求直线BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer

（Ⅰ）取AB的中点G，证明FG平行且等于CD，可得四边形FMCD为平行四边形，进而得到DF∥CG，从而证明DF∥平面ABC．
（II）取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，可得CG∥DF．根据题意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，进而得到DF⊥平面ABE，即可证明面面垂直．
（III）取AC中点M，连接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM为所求的线面角，再结合解三角形的有关知识求出线面角即可得到答案．
（I）证明：取AB中点G，连线FG、CGF为BE中点，
∴，又，，
∴
∴四边形CDFG为平行四边形
∴DF∥CG，又DF⊂平面ABC，CG⊂平面ABC
∴DF∥平面ABC…4分
（II）证明：取AB中点G，由（1）可知四边形CDFG为平行四边形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交线为AB．
又△ABC为正三角形，G为AB中点
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF⊂平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE…8分
（III）【解析】
取AC中点M，连接BM、DM
∵△ABC为正三角形，M为AC中点，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE⊂平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM为所求的线面角．
又因为为正三角形且AB=2，
所以，BC⊂平面ABC，
所以，
所以，
所以
故直线BD和平面ACDE所成角的余弦值…14分