Question

在O点测量到远处有一物体在作匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在Q点，且，再过一分钟后，该物体位于R点，且，则tan∠OPQ等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由题意可设PQ=x，则QR=x，∠POQ=90°，∠QOR=30°∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，在△ORQ中，由正弦定理可得：⇒OQ==2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；同理在△OPQ中，OQ=xsin∠OPQ，从而2x•sin（60°-∠OPQ）=xsin∠OPQ，整理可求tan∠OPQ．
【解析】
设PQ=x，则QR=x，
又∵∠POQ=90°，∠QOR=30°，
∴∠OPQ+∠R=60°，即∠R=60°-∠OPQ，
在△ORQ中，由正弦定理得：，即OQ==2x•sinR=2x•sin（60°-∠OPQ）；
在△OPQ中，同理可求得：OQ=sin∠OPQ=xsin∠OPQ，
∴2x•sin（60°-∠OPQ）=x•sin∠OPQ，①，
由于x=PQ＞0，
将①整理可得，cos∠OPQ-sin∠OPQ=sin∠OPQ，即2sin∠OPQ=cos∠OPQ，
∴tan∠OPQ=．
故选D．