已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．（1）求函...

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数．
（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]²的最大值和最小正周期；
（2）若f（x）=2f'（x），求 manfen5.com 满分网

的值．

（1）求函数F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2的最大值和最小正周期，必须先求f（x）的导数，再进行化简F（x）．再决定如何求最值和周期．（2）根据f（x）=2f'（x），易得；再求的值，可以采用“齐次化切法”．【解析】（1）已知函数f（x）=sinx+cosx，则f′（x）=cosx-sinx．代入F（x）=f（x）f′（x）+[f（x）]2 易得当时，最小正周期为（2）由f（x）=2f'（x），易得sinx+cosx=2cosx-2sinx．解得 ∴；答：（1）函数F（x）的最大值为，最小正周期为π；（2）的值为．

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考点分析：

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设[x]表示不超过x的最大整数（如[2]=2，[1.3]=1），已知函数 manfen5.com 满分网