Question

已知函数．
（I）当t=1时，若函数y=f（x+a）+b是奇函数，求实数a，b的值；
（II）当t＞1时，函数y=f（x）在区间（-2，t）上是否存在极值点？若存在，请找出极值点并论证是极大值点还是极小值点；若不存在，请说明理由．

Answer

（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=，求导函数得h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a
根据h（x）为奇函数，可得，利用 h′（x）为偶函数，得2a-1=0，从而可求实数a，b的值；
（II），令f′（x）=0解得：，
，进而探求在导数为0的左右附近，导数符号的改变，从而确定极值点．
【解析】
（I）当t=1时，记h（x）=f（x+a）+b=
则h′（x）=x2+（2a-1）x+a2-a
∵h（x）为奇函数
∴（1）------（3分）
且 h′（x）为偶函数  即2a-1=0（2）------（5分）
由（1）、（2）解得：，．------（7分）
（II）
令f′（x）=0解得：，------（9分）
（i）当1＜t＜4时，则有-2＜x1＜x2＜t
∴f′（x）在（-2，x1）和（x2，t）为正，在（x1，x2）为负
∴f（x）在（-2，x1）和（x2，t）上递增，在（x1，x2）上递减
此时，为极大值点，为极小值点；------（12分）
（ii）当t＞4时，有＜x2＜t
∴f′（x）在（-2，x2）为负，（x2，t）为正
∴f（x）在（-2，x2）上递减，在（x2，t）上递增
此时，为极小值点，无极大值点．------（15分）