Question

已知矩形ABCD与正三角形AED所在的平面互相垂直，M、N分别为棱BE、AD的中点，AB=1，AD=2，
（1）证明：直线AM∥平面NEC；
（2）求二面角N-CE-D的大小．

Answer

（1）方法一：取EC的中点F，连接FM，FN，利用中位线定理，结合直线平行的传递性，证明出四边形AMFN为平行四边形，从而得到AM∥NF，最后用直线与平面平行的判定定理，得到直线AM∥平面NEC；
方法二：设出平面NEC的一个法向量，根据垂直向量的数量积为零，联解方程组得到法向量的坐标，再通过计算=0，得到法向量与垂直，从而得到直线AM∥平面NEC；
（2）方法一：先用面面垂直的性质证明出平面CDE⊥平面ADE，然后作NH⊥DE于H，则NH⊥面CDE，作HO⊥EC于O，连接
NO，然后用三垂线定理证出∠HON就是二面角N-CE-D的平面角，在正△ADE中求出NH长，在Rt△EDC中求出OH长，最后在Rt△NHO求出∠HON的正切，从而得到二面角N-CE-D的大小．
方法二：二面角N-CE-D的大小，即为平面NEC的法向量与平面DEC法向量的所成角大小．因此再设出平面DEC的一个法向量为，根据垂直向量的数量积为零，联解方程组得到法向量的坐标，利用向量的夹角公式计算出向量、的夹角余弦，从而得到向量、的夹角的大小，即为二面角N-CE-D的大小．
【解析】
方法一：
（1）取EC的中点F，连接FM，FN，
∵△EBC中，MF是中位线
∴FM∥BC，，…（2分）
∵AN∥BC，
∴FM∥BC且FM=BC，
∴四边形AMFN为平行四边形，
∴AM∥NF，…（4分）
∵AM⊄平面NEC，NF⊂平面NEC，
∴直线AM∥平面NEC；                   …（6分）
（2）由题设知平面ABCD⊥平面ADE，CD⊥AD，
∵平面ABCD∩平面ADE=AD，
∴CD⊥平面ADE
又∵CD⊂平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE，
作NH⊥DE于H，则NH⊥平面CDE，作HO⊥EC于O，连接NO，
由三垂线定理可知NO⊥CE，
∴∠HON就是二面角N-CE-D的平面角，…（9分）
在正△ADE中，可得，在Rt△EDC中，可得，
故在Rt△NHO中，，…（11分）
所以二面角N-CE-D的大小为…（12分）
方法二：如图以N为坐标原点建立空间右手
直角坐标系，所以A（0，-1，0），B（0，-1，1）D（0，1，0），，…（1分）
（1）取EC的中点F，所以，
设平面NEC的一个法向量为，因为，
所以，；所以，…（3分）
因为，，所以…（5分）
因为AM⊄平面NEC，所以直线AM∥平面NEC…（7分）
（2）设平面DEC的一个法向量为，
因为，
所以，；
所以…（9分）
…（11分）
因为二面角N-CE-D的大小为锐角，
所以二面角N-CE-D的大小为 …（12分）