Question

如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n（n＞7，n∈N）行，设其第k（k≤n，k∈N^*）行中不是1的数字之和为a_k，由a₁，a₂，a₃，…组成的数列{a_n}的前n项和是S_n现有下面四个结论：①a₈=254；②a_n=a_n-1+2n；③S₃=22；④S_n=2ⁿ⁺¹-2-2n．其中正确结论的序号为（ ）

A．①④
B．②④
C．④
D．①②③④

Answer

①由题意可得，第8行中的数为C8，C81，C82，…C88，则a8=C81+…+C87=28-2，计算可判断①
②由题意可得，an=Cn+Cn1+…+Cnn-2=2n-2，an-1=Cn-1+Cn-11+…+Cn-1n-1=2n-1-2则，代入可检验②
③由题意可得，S3=a1+a2+a3=0+2+6，从而可判断③
④Sn=a1+a2+…+an=（21-2）+（22-2）+…+（2n-1）-1，利用分组求和及等比数列的求和公式可判断④
【解析】
①由题意可得，第8行中的数为C8，C81，C82，…C88，则a8=C81+…+C87=28-2=254，故①正确
②由题意可得，an=Cn+Cn1+…+Cnn-2=2n-2，an-1=Cn-1+Cn-11+…+Cn-1n-1=2n-1-2则an-1+2n=2n-1+2n≠2n，故②错误
③由题意可得，S3=a1+a2+a3=0+2+6=8，故③错误
④Sn=a1+a2+…+an=（21-2）+（22-2）+…+（2n-1）-1=（21+22+…+2n）-2n==2n+1-2n-2，故④正确
故选A