Question

如图矩形ABCD中，AB=2BC=2，M是AB中点，沿MD将AMD折起，
（1）在DC上是否存在一点N，不论△AMD折到什么位置（不与平面MBCD重合），总有MD∥平面ABN？
（2）当二面角A-MD-C的大小为60°时，求四棱锥A-MBCD的体积．

Answer

（1）取N为DC中点时，连接AN，BN，由三角形中位线定理，我们可证得MBND为平行四边形，进而MD∥BN，由线面平行的判定定理可得MD∥平面ABN；
（2）取MD的中点E，连接AE，NE，取EN中点F，连接AF，由已知结合二面角平面角的定义，可得∠AEN是二面角A-MD-C的平面角，即∠AEN=60°，进而由AF⊥EN，DM⊥AF，得到AF为平面MBCD上的高，求出底面MBCD的面积后，代入棱锥体积公式，即可得到四棱锥A-MBCD的体积．
【解析】
（1）当N为DC中点时，连接AN，BN，
∵MB∥DC，且MB=DC=DN，∴MBND为平行四边形∴MD∥BN，…（2分）
又MD⊄平面ABN，且BN⊂平面ABN，因此MD∥平面ABN…（4分）
（2）取MD的中点E，连接AE，NE，取EN中点F，连接AF
∵在矩形ABCD中，AD=AM=1，∴AMND是正方形，
∴AE⊥DM，NE⊥DM，故∠AEN是二面角A-MD-C的平面角…（6分）
即∠AEN=60°，又AE=NE，∴△AEN是正三角形，所以AF⊥EN，又因为DM⊥AF，
∴AF⊥平面MBCD，易得，…（10分）
∴…（12分）