Question

已知数列{a_n}满足：a₁=2，na_n+1=S_n+n（n+1），n∈N^*．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知数列{b_n}满足：，若b_n＜M对任意的n∈N^*恒成立，求M的取值范围．

Answer

（1）通过an+1=Sn+1-Sn化简数列nan+1=Sn+n（n+1），等号两边同除n+1），即可怎么数列是等差数列，求出数列{an}的首项与公差，即可得到通项公式；
（2）通过（1）求出的表达式，若bn＜M对任意的n∈N*恒成立，只需求出数列{bn}中的最大项，即可求M的取值范围．
【解析】
（1）由已知得：nSn+1-（n+1）Sn=n（n+1）即  …（2分）
∴是等差数列，首项为2，公差为1，∴Sn=n2+n…（4分）
∴an=Sn-Sn-1=2n当n=1时，a1=2也适合上式∴an=2n…（6分）
（2）由（1）得，…（7分）
∵，…（8分）
∴当n=1时，b1＜b2当n=2时，b2=b3，当n≥3时，bn＞bn+1
∴第二、三项取最大值为，…（10分）
∵bn＜M对任意的n∈N*恒成立，∴bn的最大值小于M，∴．
所以，M的取值范围．…（12分）