Question

椭圆C的中心为坐标原点，上焦点（0，c）到直线的距离为，离心率也为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B．
（ I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若，求m的取值范围．

Answer

（ I）  因为点（0，c）到直线的距离为，所以可得，再根据离心率也为，可得，，两式联立，即可求出a，b，c，椭圆C的方程即可求出．
（Ⅱ）先设出直线l的方程，代入（ I）中所求出的椭圆方程中，消y，德关于x的一元二次方程，求两根之和，两根之积，再根据，就可把k2用含m的式子表示，再根据k2的范围，求出m的范围．
【解析】
（ I）设椭圆，设c2=a2-b2
由条件知
∴
故椭圆C的方程为：
（Ⅱ）设l：y=kx+m，联立 ，
消去y 并化简得：（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，
△=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
因即-x1=3x2
消 x2得3（x1+x2）2+4x1x2=0∴
整理得 4k2m2+2m2-k2-2=0…（9分）
当时，上式不成立；∴．此时
因∴k≠0∴∴，即或
∴所求m的取值范围为