Question

已知一几何体的三视图如图（甲）示，（三视图中已经给出各投影面顶点的标记）
（1）在已给出的一个面上（图乙），画出该几何体的直观图；
（2）设点F、H、G分别为AC，AD，DE的中点，
求证：FG∥平面ABE；
（3）求该几何体的全面积．

Answer

（1）根据三视图判断该几何体是底面为正方形的直四棱柱，AC垂直底面．
（2）利用三角形的中位线性质证明线面平行，进而证明面面平行，再利用面面平行的性质证明线面平行．
（3）棱锥的全面积等与各个面的面积之和，先证各个侧面都是直角三角形，计算出各个侧面的面积．
【解析】
（1）该几何体的直观图如图示：
（2）证明：由图（甲）知四边形CBED为正方形
∵F、H、G分别为AC，AD，DE的中点
∴FH∥CD，HG∥AE
∵CD∥BE∴FH∥BE
∵BE⊂面ABE，FH⊄面ABE
∴FH∥面ABE
同理可得 HG∥面ABE
又∵FH∩HG=H
∴平面FHG∥平面ABE
又∵FG⊂面FHG
∴FG∥平面ABE

（3）由图甲知AC⊥CD，AC⊥BC，BC⊥CD
∴CD⊥平面ACB，
∴CD⊥AB
同理可得ED⊥AD
∵S△ACB=S△ACD，S△ABE=S△ADE=×2×2=2，SCBED=4，
∴该几何体的全面积
S=S△ACB+S△ACD+S△ABE+S△ADE+SCBED=2+2+4+4=4（2+）．