Question

如图，平面ABCD⊥平面PAD，△APD是直角三角形，∠APD=90°，四边形ABCD是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD=90°，AD=2BC，O是AD的中点
（1）求证：CD∥平面PBO；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD．

Answer

（1）因为AD=2BC，且O是AD中点，可以证四边形BCDO为平行四边形，然后根据直线与平面的判断定理进行证明；
（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，先证明PD⊥平面PAB，再由PD⊂平面PCD，利用平面与平面垂直的判断定理，进行求证．
证明：（1）因为AD=2BC，且O是AD中点，
所以OD=BC，又AD∥BC，所以OD∥BC，
所以四边形BCDO为平行四边形，（2分）
所以CD∥BO，CD⊄平面PBO，
且BO⊂平面PBO，故CD∥平面PBO；（6分）
（2）因为∠BAD=90°，所以BA⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊂平面ABCD，
∴AB⊥平面PAD，（8分）PD⊂平面PAD，
∴AB⊥PD，AP⊥PD，AB∩AP=A，
∴PD⊥平面PAB，（12分）∵PD⊂平面PCD，
故平面PAB⊥平面PCD． （14分）