Question

若直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x²+y²+8x+2y+1=0的周长，则的最小值为    ．

Answer

先根据题意可推断出直线l过圆的直径，利用圆的方程求得圆心坐标代入直线方程求得a和b的关系，然后把整理成（4a+b）（）的形式展开后利用基本不等式求得答案．
【解析】
整理圆的方程得（x+4）2+（y+1）2=16，
∴圆心坐标为（-4，-1）
∵直线l：ax+by+1=0（a＞0，b＞0）始终平分圆M：x2+y2+8x+2y+1=0的周长
∴直线l过圆心，即-4a-b+1=0
∴4a+b=1
∴=（4a+b）（）=8++≥8+2=16（当且仅当=时等号成立．）
故答案为：16