Question

已知等差数列{a_n²}中，首项a₁²=1，公差d=1，a_n＞0，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=，数列{b_n}的前n项和为T_n；
①求T₁₂₀；
②求证：当n＞3时，＞T_n+．

Answer

（1）由等差数列{an2}的首项a12和公差d，利用等差数列的通项公式求出{an2}的通项公式，然后根据an大于0，开方可得数列{an}的通项公式；
（2）把（1）求得{an}的通项公式代入bn=中，分母有理化化简后即可得到数列{bn}的通项公式，然后列举出数列{bn}的前120项的和，抵消化简可得值．
【解析】
（1）∵{an2}是等差数列，等差d=1，首项a12=1，
∴an2=1+（n-1）×1=n，
又an＞0，
∴an=；
（2）①∵bn===-，
∴T120=（-1+（-）+…+（-）=-1=10．
②∵，要证当n＞3时，＞Tn+
即证，即证2n＞2n+2，
因为n＞3时，2n=（1+1）n=
＞=2n+2，
∴当n＞3时，＞Tn+