Question

如图，已知曲线与抛物线c₂：x²=2py（p＞0）的交点分别为A、B，曲线c₁和抛物线c₂在点A处的切线分别为l₁、l₂，且l₁、l₂的斜率分别为k₁、k₂．
（Ⅰ）当为定值时，求证k₁•k₂为定值（与p无关），并求出这个定值；
（Ⅱ）若直线l₂与y轴的交点为D（0，-2），当a²+b²取得最小值9时，求曲线c₁和c₂的方程．

Answer

（Ⅰ）利用导数分别求l1、l2的斜率分别为k1、k2．进而可求k1•k2，利用点A在曲线c1和抛物线c2上，结合为定值时可得结论．
（Ⅱ）设A点的坐标为，利用l2过点D（0，-2），则x2=4p，从而可求点的坐标代入曲线c1的方程得．从而利用基本不等式可求a2+b2最小值，注意等号成立的条件．
【解析】
（Ⅰ）设点A的坐标为（x，y），
由得：
则，∴…2′
由x2=2py（p＞0）得，∴…4′
∴
又∵x2=2py，，∴．
∴为定值．…6′
（Ⅱ）如图设A点的坐标为，则x∈（-a，0）．
由（Ⅰ）知：，则直线．
∵l2过点D（0，-2），则x2=4p，即，∴点．…8′
将代入曲线c1的方程得．
∴．
由重要不等式得．…10′
当且仅当“=”成立时，有，解得
∴，c2：y=2x2．…13′