Question

定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=-f（x+2），当x＞1时f（x）单调递增，如果x₁+x₂＞2且（x₁-1）（x₂-1）＜0，则f（x₁）+f（x₂）的值（ ）
A．恒小于0
B．恒大于0
C．可能为0
D．可正可负

Answer

先由抽象表达式f（-x））=-f（x+2），推出函数的对称中心为（1，0），再由当x＞1时f（x）单调递增和函数的对称性，可知函数f（x）在R上单调递增且f（1）=0，最后分析x1+x2＞2且（x1-1）（x2-l）＜0，说明x1、x2一个大于1，一个小于1，且大于1的数距离1较远，由函数的单调性和对称性可知f（x1）+f（x2）恒大于零
【解析】
∵f（-x））=-f（x+2），∴函数f（x）的图象关于（1，0）对称，
∵x＞1时f（x）单调递增，∴函数f（x）在R上单调递增且f（1）=0
∵x1+x2＞2，∴（x1-1）+（x2-l）＞0
∵（x1-1）（x2-l）＜0
∴不妨设x1＜x2，则x1＜1，x2＞1，且|x2-l|＞|x1-1|
由函数的对称性，∴f（x1）+f（x2）＞0
故选B