Question

如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC中点，AF=AB=BC=FE=AD
（I）求证：BF⊥DM
（Ⅱ）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer

（I）设P为AD的中点，连接EP，PC，所以EFAPBC，所以FA∥EP，可得EP⊥平面ABCD，所以EP⊥PC，EP⊥AD，再结合直角三角形的性质可得：ED=CD，进而得到：DM⊥CE，又BF∥EC，所以DM⊥BF．
（II）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A-CD-E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可．
【解析】
（I）证明：设P为AD的中点，连接EP，PC，
所以由已知，EFAPBC
∴EP=PC，FA∥EP，EC∥BF，AB∥PC…（2分）
又∵FA⊥平面ABCD，
∴EP⊥平面ABCD
因为PC、AD⊂平面ABCD
所以EP⊥PC，EP⊥AD
设FA=a，则EP=PC=PD=a，
∴…（5分）
∵M为EC的中点，
∴DM⊥CE
∵BF∥EC
∴DM⊥BF．…（6分）
（II）取CD的中点Q，连接PQ，EQ
由（I）知PC=PD，CE=DE
∴PQ⊥CD，EQ⊥CD
∴∠EQP为二面角A-CD-E的平面角…（10分）
由（I）可得，在等边△ECD中
在等腰
在
故二面角A-CD-E的余弦值为．…（12分）