Question

设函数，f（x）=x²-alnx，g（x）=x²-x+m，令F（x）=f（x）-g（x）
（Ⅰ）当m=0，x∈（1，+∞）时，试求实数a的取值范围使得F（x）的图象恒在x轴上方
（Ⅱ）当a=2时，若函数F（x）在[1，3]上恰好有两个不同零点，求实数m的取值范围
（Ⅲ）是否存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

Answer

（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，将a分离出来，然后研究另一侧函数的最小值即可求出a的范围；
（II）函数F（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m，在[1，3]上恰有两个相异实根，然后利用导数研究y=x-2lnx在[1，3]的值域即可求出m的范围．
（III）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a的值，使函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性，再利用导数工具，求出函数的单调区间，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
【解析】
（I）当m=0时，函数F（x）的图象恒在x轴上方等价于F（x）＞0在（1，+∞）上恒成立
由m=0，F（x）＞0可得-alnx＞-x∵x∈（1，+∞）
则
记恒成立
等价于a＜ϕ（x）min（x∈（1，+∞））
又
∴当x∈（1，e）时；ϕ'（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，ϕ'（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值，
也是最小值，即ϕ（x）min=ϕ（e）=e∴a＜e
故a的取值范围是（-∞，e）．…（5分）
（II）函数F（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=m，
在[1，3]上恰有两个相异实根．
令
当x∈[1，2）时，h'（x）＜0，当x∈（2，3]时，h'（x）＞0
故在[1，3]上h（x）min=h（2）=2-ln2…（8分）
又h（1）=1，h（3）=3-2ln3∵h（1）＞h（3）∴只需h（2）＜m≤h（3）
故m的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3]．…（9分）
（III）存在，
使得函数f（x）和函数g（x）在公共定义域上具有相同的单调性．…（10分）
因为f（x）和g（x）的公共定义域为（0，+∞）
由g（x）=x2-x+m知，g（x）在（0，+∞）上单调递增区间是，
单调递减区间是…（11分）
由
若a≤0，则f（x）'＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
若a＞0，由f（x）'＞0可得2x2-a＞0，
解得
由
故a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为，
单调递减区间为
故只需．