Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，数列{b_n}的前n项和 为S_n，T_n=S_2n-S_n．
（Ⅰ）求证数列{}是等差数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：T_n+1＞T_n．

Answer

（1）将bn=an-1代入2an=1+anan+1，可得bn的递推关系式，整理变形可得 ，由等差数列的定义可得 为等差数列，故可求其通项公式，进而求出bn．
（2）结合（1）中的结论，写出Tn+1-Tn的表达式，利用放缩法证明该差大于0即可．
【解析】
（1）由bn=an-1，得an=bn+1，代入2an=1+anan+1，
得2（bn+1）=1+（bn+1）（bn+1+1），
整理，得bnbn+1+bn+1-bn=0，
从而有，∵b1=a1-1=2-1=1，
∴是首项为1，公差为1的等差数列，∴，即．（5分）
（2）∵，∴，，，
（∵2n+1＜2n+2）∴Tn+1＞Tn．（12分）