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已知椭圆C与双曲线x2-y2=1共焦点,且下顶点到直线x+y-2=0的距离为. ...

已知椭圆C与双曲线x2-y2=1共焦点,且下顶点到直线x+y-2=0的距离为manfen5.com 满分网
(1)求椭圆C的方程;
(2)若一直线l2:y=kx+m与椭圆C相交于A、B(A、B不是椭圆的顶点)两点,以AB为直径的圆过椭圆的上顶点,求证:直线l2过定点,并求出该定点的坐标.
(1)因为椭圆C与双曲线x2-y2=1共焦点,所以可根据双曲线的焦点坐标求出椭圆中的c值,再根据下顶点到直线x+y-2=0的距离为,可求出b的值,利用a,b,c的关系式,就可得到a的值,这样椭圆C的方程可得. (2)把y=kx+m与(10中求出的椭圆方程联立,求出x1+x2,x1x2,y1+y2,y1y2,再根据以AB为直径的圆过椭圆的上顶点,所以AQ⊥BQ,求出m的值,就可判断出直线l2过定点,根据点斜式,求出该定点的坐标. 【解析】 (1)∵ ∴椭圆C的焦点为 设椭圆的方程为, 由题意得.∴. ∴椭圆的方程为. (2)椭圆的上顶点为Q(0,1), 由方程组, 即 ∵直线l2:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点, ∴, 即3k2-m2+1>0. 设A、B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则, ∴, y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 =. ∵以AB为直径的圆过椭圆的上顶点Q(0,1), ∴AQ⊥BQ,∴x1x2+(y1-1)(y2-1)=0, 即x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0 ∴, 化简得2m2-m-1=0, ∴. 当m=1时,直线l2:y=kx+1过定点Q(0,1),与已知矛盾; 当时,满足3k2-m2+1>0, 此时直线过定点, ∴直线l2过定点.
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考点分析:
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以上判断中正确的结论有    .(写出所有正确结论的序号) 查看答案
试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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