Question

已知函数f（x）=x³-3x及y=f（x）上一点P（1，-2），过点P作直线l．
（1）求使直线l和y=f（x）相切且以P为切点的直线方程；
（2）求使直线l和y=f（x）相切且切点异于P的直线方程y=g（x）；
（3）在（2）的条件下，求F（x）=f（x）+tg（x）（t为常数）在[2，+∞）上单调时，t的取值范围．

Answer

（1）由已知可得斜率函数为f′（x）=3x2-3，进而求出所过点切线的斜率，代入点斜式公式即可．
（2）设另一切点为（x，y），求出该点切线方程，再由条件列方程计算．
（3）由（2）得g（x）=-x+，则F（x）=x3-3x+t（-x+），求其导数，再分类讨论：当t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；当t+3＞0时，求得当t≤4时，F（x）在[2，+∞）上是增函数，从而求出t的取值范围．
【解析】
（1）由f（x）=x3-3x得，f′（x）=3x2-3，
过点P且以P（1，-2）为切点的直线的斜率f′（1）=0，
∴所求直线方程为y=-2．
（2）设过P（1，-2）的直线l与y=f（x）切于另一点（x，y），
则f′（x）=3x2-3．
又直线过（x，y），P（1，-2），
故其斜率可表示为=，
又=3x2-3，
即x3-3x+2=3（x2-1）•（x-1），
解得x=1（舍）或x=-，
故所求直线的斜率为k=3×（-1）=-，
∴y-（-2）=-（x-1），
即9x+4y-1=0．
（3）由（2）得g（x）=-x+，则F（x）=x3-3x+t（-x+），
∴F′（x）=3x3-（t+3），
当t+3≤0时，F（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，F（x）在[2，+∞）上是增函数；
当t+3＞0时，由F′（x）=0得极值点：x1=-，x2=，
在，即，即t≤4时，F（x）在[2，+∞）上是增函数，
∴t的取值范围：t≤4．