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已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l....

已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于P的直线方程y=g(x);
(3)在(2)的条件下,求F(x)=f(x)+tg(x)(t为常数)在[2,+∞)上单调时,t的取值范围.
(1)由已知可得斜率函数为f′(x)=3x2-3,进而求出所过点切线的斜率,代入点斜式公式即可. (2)设另一切点为(x,y),求出该点切线方程,再由条件列方程计算. (3)由(2)得g(x)=-x+,则F(x)=x3-3x+t(-x+),求其导数,再分类讨论:当t+3≤0时,F(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,F(x)在[2,+∞)上是增函数;当t+3>0时,求得当t≤4时,F(x)在[2,+∞)上是增函数,从而求出t的取值范围. 【解析】 (1)由f(x)=x3-3x得,f′(x)=3x2-3, 过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率f′(1)=0, ∴所求直线方程为y=-2. (2)设过P(1,-2)的直线l与y=f(x)切于另一点(x,y), 则f′(x)=3x2-3. 又直线过(x,y),P(1,-2), 故其斜率可表示为=, 又=3x2-3, 即x3-3x+2=3(x2-1)•(x-1), 解得x=1(舍)或x=-, 故所求直线的斜率为k=3×(-1)=-, ∴y-(-2)=-(x-1), 即9x+4y-1=0. (3)由(2)得g(x)=-x+,则F(x)=x3-3x+t(-x+), ∴F′(x)=3x3-(t+3), 当t+3≤0时,F(x)≥0在[2,+∞)上恒成立,F(x)在[2,+∞)上是增函数; 当t+3>0时,由F′(x)=0得极值点:x1=-,x2=, 在,即,即t≤4时,F(x)在[2,+∞)上是增函数, ∴t的取值范围:t≤4.
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