Question

已知数列{a_n}、{b_n}、{c_n}的通项公式满足b_n=a_n+1-a_n，c_n=b_n+1-b_n（n∈N^*）．若数列{b_n}
是一个非零常数列，则称数列{a_n}是一阶等差数列；若数列{c_n}是一个非零常数列，则称数列{a_n}是二阶等差数列．
（Ⅰ）试写出满足条件a₁=1，b₁=1，c_n=1的二阶等差数列{a_n}的前五项；
（Ⅱ）求满足条件（Ⅰ）的二阶等差数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅲ）若数列{a_n}的首项a₁=2，且满足c_n-b_n+1+3a_n=-2ⁿ⁺¹（n∈N^*），求数列{a_n}的通项公式．

Answer

（1）根据数列的递推式分别求得a1，a2，a3，a4，a5=1的值．
（2）根据题意可知bn+1-bn=cn=1，an+1-an=bn=n，进而用叠加法求得bn和an．
（3）根据题设条件整理可得bn-3an=2n+1，整理可得an+2n=4•4n-1=4n，进而判断出数列{an+2n}的首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，求得数列的通项公式，进而求得an．
【解析】
（Ⅰ）a1=1，
a2=b1+a1=2，b2=c1+b1=2
∴a3=b2+a2=4，同样的道理求得a4=7，a5=1
（Ⅱ）依题意bn+1-bn=cn=1，n=1，2，3
所以bn=（bn-bn-1）+（bn-1-bn-2）+（bn-2-bn-3）+…+（b2-b1）+b1
=1+1+1+1+…+1=n
又an+1-an=bn=n，n=1，2，3，
所以an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）+…+（a2-a1）+a1=（n-1）+（n-2）+…+2+1+1=
（Ⅲ）由已知cn-bn+1+3an=-2n+1，可得bn+1-bn-bn+1+3an=-2n+1，
即bn-3an=2n+1，
整理得：an+1+2n+1=4（an+2n），
因而数列{an+2n}的首项为a1+2=4，公比为4的等比数列，
∴an+2n=4•4n-1=4n，
即an=4n-2n