Question

若实数．
（1）若a＞2，求函数f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上存在一点x，使得f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出函数的导数，通过a＞2，列出导函数的值的符号，确定函数f（x）的单调区间；
（2）通过f（0）=1，利用（1）要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）极小值＜1，即可求实数a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=+2x+1
∴…（2分）a＞2时，列表如下，

x 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

∴
单调递减区间是…（6分）
当0＜a＜2时，列表如下，

x （-∞，1） 1
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

∴
单调递减区间是…（6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x，使得f（x）＜1成立，只需在区间（0，+∞）上f（x）极小值＜1即可．…（8分）
当a＞2时，f（x）极小值=f（1）=2-＜1，所以a＞6．…（10分）
当．…（12分）
综上所述，实数…（13分）