Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，连接AC₁交平面A₁BD于H，则下列命题中，错误的命题是（ ）

A．AH与DD₁所成的角为
B．AC₁⊥平面A₁BD
C．
D．H是△A₁BD的垂心

Answer

A 因为 DD1∥AA1，所以将AH与DD1所成的角转化成AH与AA1所成的角∠A1AC解决．
B由三垂线定理，可证AC1⊥面A1BD
D因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC1⊥面A1BD，所以H是△A1BD的垂心
C在直角三角形CAC1中求解．
【解析】
连接 A1C1，知tan∠A1AC=，即AH与DD1所成的角为，A对
由三垂线定理，AC1在面ABCD上的射影为AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC1  同理可证BA1⊥AC1∴AC1⊥面A1BD，B对
因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC1⊥面A1BD，所以H是△A1BD的垂心  D对
由AC1⊥面A1BD知AH⊥HO，
HO=AO×sin∠CAC1=，C错
故选C