Question

如图，平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=1，底面ABCD是矩形，顶点D₁在底面ABCD上的射影O恰好是CD的中点．
（I）求证：BO⊥AD₁；
（II）若二面角D₁-AB-D的大小为60°，求AD₁与底面ABCD所成的角．

Answer

（I）由顶点D1在底面ABCD上的射影O是CD的中点，我们根据线面垂直的性质，易得OD1⊥OB，又根据等腰三角形三线合一的性质，可得OB⊥OA，进而由线面垂直的性质得到BO⊥平面D1AO，从而BO⊥AD1；
（II）由（I）知D1O⊥底面ABCD，连接AO，则∠D1AO为AD1与底面ABCD所成的角，过O作OH⊥AB，连接D1H，则D1H⊥AB，则∠D1HO=60°，在直角△D1HO中，利用，可求AD1与底面ABCD所成的角．
证明：（I））∵D1在平面ABCD上的射影为O，
∴OD1⊥平面ABCD，
∴OD1⊥OB
∵点O为DC的中点，DC=2，
∴OC=1，
又∵BC=1，∠DCB=90°，
∴OB⊥OA
∵D1O∩AO=O，
∴OB⊥平面D1AO
∵AD1⊂平面D1AO
∴BO⊥AD1；
（II）由（I）知D1O⊥底面ABCD，连接AO，则∠D1AO为AD1与底面ABCD所成的角
过O作OH⊥AB，连接D1H，则D1H⊥AB
∴∠D1HO为二面角D1-AB-D的平面角，即∠D1HO=60°
因为底面是矩形，O是CD的中点
所以OH=AD=1
在直角△D1OH中，DO=OH
在直角△AOH中，AO=
故在直角△D1HO中，
∴AD1与底面ABCD所成的角为