Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，左顶点为A，O为坐标原点．
若．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设过点F₁的直线l交椭圆C于M、N两点，求的取值范围．

Answer

（I）由，根据椭圆的定义可得，由，根据离心率的定义得，所以c=1，所以b=1，从而可求椭圆C的方程；
（II）由（I）知F1（-1，0），F2（1，0），则斜率不存在时，用坐标分别表示出，从而利用数量积公式可求
斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得
（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则用坐标分别表示出，从而利用数量积公式可求的范围．
【解析】
（I）由得，∴
由得，∴c=1，∴b=1
∴椭圆C的方程为；
（II）由（I）知F1（-1，0），F2（1，0），则斜率不存在时，
，于是
∴
斜率存在时，设直线MN的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，消去y得
（1+2k2）x2+4k2x+2（k2-1）=0
设M（x1，y1），N（x2，y2），则
∵，
∴
∵1+2k2≥1，∴
∴
综上知，