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已知函数,其中m为实数. (1)函数f(x)在x=-1处的切线斜率为,求m的值;...

已知函数manfen5.com 满分网,其中m为实数.
(1)函数f(x)在x=-1处的切线斜率为manfen5.com 满分网,求m的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)若f(x)在x=-2处取得极值,直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点,求a的取值范围.
(1)求出函数的导函数,由已知在x=-1处f(x)的切线斜率为,代入可得f'(-1)=,进一步得到m的值. (2)利用导数f′(x)=x2+2mx,对参数m要分m=0,m>0,m<0三种情况来讨论,可借助于x,f'(x),f(x)的变化情况表来解得函数的单调区间. (3)f(x)在x=-2处取得极值,即有f'(-2)=0可得到m的值,代入函数解析式y=f(x)求得极值,由函数的图象与直线有三个不同的交点,寻求函数的极值点,得到极值,通过比较函数的极值于参数a之间的关系即可得到结论. 【解析】 (1)f'(x)=x2+2mx,f'(-1)=1-2m 由,解得. (2)f'(x)=x2+2mx=x(x+2m) ①当m=0时,,在(-∞,+∞)上单调递增; ②当m>0时x变化时,f'(x),f(x)的变化状态如下表: x (-∞,-2m) -2m (-2m,0) (0,+∞) f'(x) + - + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数f(x)的单调递增区间是(-∞,-2m)和(0,+∞),单调递减区间是(-2m,0). 当m<0时x变化时,f'(x),f(x)的变化状态如下表: x (-∞,0) (0,-2m) -2m (-2m,+∞) f'(x) + - + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(-2m,+∞),单调递减区间是(0,-2m). 综上:当m=0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,+∞); 当m>0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,-2m)和(0,+∞),单调递减区间是(-2m,0); 当m<0时,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和(-2m,+∞),单调递减区间是(0,-2m). (3)由题意f'(-2)=0,解得m=1. 所以, 由(2)知f(x)在区间(-∞,-2)上递增,在(-2,0)上递减,(0,+∞)上递增 所以,f(x)极小=f(0)=0, 要使直线y=a与y=f(x)的图象有三个不同的交点 只需,.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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