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已知函数 (Ⅰ)求函数的定义域,并证明在定义域上是奇函数; (Ⅱ)若x∈[2,6...

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(Ⅰ)求函数的定义域,并证明manfen5.com 满分网在定义域上是奇函数;
(Ⅱ)若x∈[2,6]manfen5.com 满分网恒成立,求实数m的取值范围;
(Ⅲ)当n∈N*时,试比较f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2n)与2n+2n2的大小关系.
(I)令对手的真数大于0,求出定义域,求出f(-x),判断f(-x)与f(x)的关系,判断出奇偶性. (II)先利用对数函数的单调性得到真数的大小,将m分离出来,构造新函数g(x),求出二次函数g(x)的最小值,令m小于最小值. (III)构造函数h(x),通过导数,求出h(x)的最大值,证出要证的不等式. 【解析】 (Ⅰ)由,解得x<-1或x>1, ∴函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞) 当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时, ∴在定义域上是奇函数.(4分) (Ⅱ)由x∈[2,6]时,恒成立, ∴,∵x∈[2,6] ∴0<m<(x+1)(7-x)在x∈[2,6]成立 令g(x)=(x+1)(7-x)=-(x-3)2+16,x∈[2,6],由二次函数的性质可知x∈[2,3]时函数单调递增,x∈[3,6]时函数单调递减,x∈[2,6]时,g(x)min=g(6)=7 ∴0<m<7(8分) (Ⅲ)f(2)+f(4)+f(6)++f(2n)= 构造函数, 当x>0时,h'(x)<0,∴在(0,+∞)单调递减, ∴h(x)<h(0)=0(12分) 当x=2n(n∈N*)时,ln(1+2n)-(2n+2n2)<0∴ln(1+2n)<2n+2n2(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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