Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2，四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）求直线A₁C₁与平面BDC₁所成角的正弦值；
（3）求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer

（1）欲证AB1∥平面BC1D，只需证明AB1平行平面BC1D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB1成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC1D上，就可得到结论．
（2）作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C．设BC=a，在Rt△ABC中，BE==，利用四棱锥B-AA1C1D的体积，可求得BC=3，从而可求BE=，根据可求A1到平面C1BD的距离，从而可求直线A1C1与平面BDC1所成角的正弦值；
（3）先根据AA1=AB=2，四棱锥B-AA1C1D的体积为3，求出BC长，利用三垂线定理，取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC1，作MN⊥NC1与N，连接DN，则DN⊥BC1，则∠DNM为二面角C-BC1-D的平面角．再把角∠DNM放到三角形DMN中求出正切值即可．
【解析】
（1）证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC1B是平行四边形，
∴点O为B1C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，
∴OD∥AB1，
∵OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D
（2）作BE⊥AC，垂足为E，
∵侧棱AA1⊥底面ABC，BE⊂底面ABC
∴AA1⊥BE
∵AA1∩AC=A
∴BE⊥平面AA1C1C．
设BC=a，在Rt△ABC中，BE==
∴四棱锥B-AA1C1D的体积V=×（A1C1+AD）•AA1•BE=a=3，即BC=3
∴BE=
在三角形C1BD中，BC1=，BD=，C1D=，
∴，
∴
∴
设A1到平面C1BD的距离为h，则根据，
可得
∴
设直线A1C1与平面BDC1所成角为α，∴
（3）依题意知，AB=BB1=2，
∵AA1⊥底面ABC，AA1⊂底面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC
取BC中点M，连接DM，DM⊥平面BCC1，作MN⊥NC1与N，连接DN，则DN⊥BC1，
∠DNM为二面角C-BC1-D的平面角．
在△DMN中，DM=1，MN=，tan∠DNM=，
∴二面角C-BC1-D的正切值为