Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．又直线l：y=x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁，求△ABF₂的面积；
（Ⅲ）求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，求出a=2，又点A（1，）在椭圆上，解得b，最后写出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F1、F2两点的坐标；直线l：y=x+m经过点F1求得m，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△ABF2的面积，从而解决问题．
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得求的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2．            （1分）
又点A（1，）在椭圆上，∴，解得b2=3．（2分）
∴椭圆C的标准方程是．                                          （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c2=a2-b2=1，即c=1，
∴F1、F2两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）．                                    （4分）
∵直线l：y=x+m经过点F1（-1，0），
∴0=×（-1）+m，∴m=．                                               （5分）
设A、B两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由题意，有
，消去x，整理得16y2-12y-9=0，
∴y1+y2=，y1y2=-．                                                （6分）
设△ABF2的面积为SABF2，则
SABF2=|F1F2||y2-y1|=×2=
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则由题意，有
，消去y，整理得x2+mx+m2-3=0  ①
x1+x2=-m，x1x2=m2-3．
∴y1y2=（x1+m）（x2+m）=x1x2+（x1+x2）m+m2
=（m2-3）+（-m）m+m2=m2-．                                      （10分）
∴=x1x2+y1y2=m2-3+m2-=m2-，（11分）
又由①得，△=m2-4（m2-3）=-3m2+12，
∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m2＜4．     
∴-≤．
∴的取值范围是[-，）．                                          （14分）