Question

在空间五面体ABCDE中，四边形ABCD是正方形，AB⊥平面BCE，∠CBE=90°．
点F是BE的中点．求证：
（I）ED∥平面ACF
（II）AC⊥平面BDF．

Answer

（I）点F是AB的中点，利用FO为△BED的中位线，推出OF∥DE，然后证明ED∥平面ACF
（II）要证AC⊥平面BDF，只需证明BF⊥AC，AC⊥BD，BD∩BF=B即可．
证明：（I）∵点F是AB的中点，AC∩BD=O，
∴FO为△BED的中位线
∴OF∥DE
又∵ED⊄平面ACF，OF⊂平面ACF
∴DE∥平面ACF（6分）
（II）∵AB⊥平面BCE，BF⊂平面BCE
∴AB⊥BF，
∵∠CBE=90°，
∴BF⊥BC，
∴AC⊥BD，
∵AB∩BC=B，∴BF⊥平面ABCD，
AC⊂平面ABCD，BF⊥AC，
又四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BD∩BF=B，
∴AC⊥平面BDF（13分）