Question

已知函数f（x）=x²-ax+a（x∈R），在定义域内有且只有一个零点，存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．若n∈N^*，f（n）是数列{a_n}的前n项和．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设各项均不为零的数列{c_n}中，所有满足c_k•c_k+1＜0的正整数k的个数称为这个数列{c_n}的变号数，令（n为正整数），求数列{c_n}的变号数；
（Ⅲ）设（n≥2且n∈N^*），使不等式恒成立，求正整数m的最大值．

Answer

（I）由函数f（x）在定义域内有且只有一个零点，知△=a2-4a=0，得a=0或a=4．由此能求出数列{an}的通项公式．
（II）法一：由题设，因为n≥3时，，所以n≥3时，数列{cn}递增．由此能够推导出数列{cn}变号数为3．
法二：由题设，知当n≥2时，令cn•cn+1＜0，得，解得n=2或n=4．由此能够推导出数列{cn}变号数为3．
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，，转化为 ．由此入手能够推导出正整数m的最大值为5．
【解析】
（I）∵函数f（x）在定义域内有且只有一个零点
∴△=a2-4a=0得a=0或a=4（1分）
当a=0时，函数f（x）=x2在（0，+∞）上递增故不存在0＜x1＜x2，
使得不等式f（x1）＞f（x2）成立        （2分）
综上，得a=4，f（x）=x2-4x+4．（3分）
∴Sn=n2-4n+4
∴（4分）
（II）解法一：由题设
∵n≥3时，
∴n≥3时，数列{cn}递增．
∵，
由，得n≥5可知
即n≥3时，有且只有1个变号数；     
又即∴此处变号数有2个
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3           （9分）
解法二：由题设
当n≥2时，令cn•cn+1＜0，
得，
即或，
解得n=2或n=4．
又∵c1=-3，c2=5，
∴n=1时也有c1•c2＜0
综上得数列{cn}共有3个变号数，即变号数为3…（9分）
（Ⅲ）n≥2且n∈N*时，
可转化为    ．
设g（n）=，
则当n≥2且n∈N*，
=
=．
所以g（n+1）＞g（n），即当n增大时，g（n）也增大．
要使不等式
对于任意的n∈N*恒成立，
只需即可．
因为，
所以．
即 
所以，正整数m的最大值为5．（13分）