Question

已知椭圆的中心在原点O，离心率e=，短轴的一个端点为（0，），点M为直线y=x与该椭圆在第一象限内的交点，平行于OM的直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形．

Answer

（Ⅰ）因为短轴的一个端点为（0，），可得b的值，因为离心率e=，得=，再根据a，b，c的关系式，就可求出a的值，椭圆的方程可求．
（Ⅱ）要证直线MA，MB与x轴始终围成一个等腰三角形，只需证直线MA，MB的倾斜角互补即可，也即直线MA，MB的斜率互为相反数．可分别用A，B点坐标表示直线MA，MB的斜率，再计算k1+k2，消去参数，看结果是否为0．若是0，则问题得证．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆方程为（a＞b＞0），
则解得a=2．
所以椭圆方程为                  
（Ⅱ）由题意M（2，0），设直线l的方程为y=x+m．
由 得x2+2mx+2m2-4=0，
设直线AM，MB的斜率分别为k1，k2，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则k1=，，k2=．
由x2+2mx+2m2-4=0，
可得x1+x2=-2m，x1x2=2m2-4，
k1+k2==
=
=
=
=
=0．
即k1+k2=0．
故直线MA，MB与X轴始终围成一个等腰三角形．