Question

已知a，b为两个正数，且a＞b，设a₁=，b₁=，当n≥2，n∈N^*时，a_n=，b_n=．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是递减数列，数列{b_n}是递增数列；
（Ⅱ）求证：a_n+1-b_n+1＜（a_n-b_n）；
（Ⅲ）是否存在常数C＞0使得对任意n∈N^*，有|a_n-b_n|＞C，若存在，求出C的取值范围；若不存在，试说明理由．

Answer

（I）易知对任意n∈N*，an＞0，bn＞0．根据基本不等式可知对任意n∈N*，an＞bn，判定符号可得数列{an}的单调性，，从而得到数列{bn}的单调性； 
（II）根据题意可知，然后利用放缩法即可证得结论；
（III）若存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C，则对任意n∈N*，，即对任意n∈N*成立，设[x]表示不超过x最大整数，则有，即当时，与对任意n∈N*成立矛盾．从而所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C．
（共13分）
（Ⅰ）证明：易知对任意n∈N*，an＞0，bn＞0．
由a≠b，可知，即a1＞b1．
同理，，即a2＞b2．
可知对任意n∈N*，an＞bn．，
所以数列{an}是递减数列．，
所以数列{bn}是递增数列．              …（5分）
（Ⅱ）证明：．…（10分）
（Ⅲ）【解析】
由，可得．
若存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C，
则对任意n∈N*，．
即对任意n∈N*成立．
即对任意n∈N*成立．
设[x]表示不超过x最大整数，则有．
即当时，．
与对任意n∈N*成立矛盾．
所以，不存在常数C＞0使得对任意n∈N*，有|an-bn|＞C． …（14分）