Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，）
（Ⅰ）若b_n=为等差数列；
（Ⅱ）记数列，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据假设，结合），作简单变形，即可证得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2+（n-1）×2=2n，从而可利用裂项法求和，进而将恒成立问题转化为解不等式即可．
（Ⅰ）证明：令，则
∵）
∴bn+1-bn=2
∵a1=1，a2=2
∴
∴数列{bn}为以2为首项，2为公差的等差数列；
（Ⅱ）【解析】
由（Ⅰ）知bn=2+（n-1）×2=2n
∴
∴
∴
∴4a2-4a-3≥0
∴（2a-3）（2a+1）≥0
∴或