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在直角梯形A1A2A3D中,A1A2⊥A1D,A1A2⊥A2A3,且B,C分别是...

在直角梯形A1A2A3D中,A1A2⊥A1D,A1A2⊥A2A3,且B,C分别是边A1A2,A2A3上的一点,沿线段BC,CD,DB分别将△BCA2,△CDA3,△DBA1翻折上去恰好使A1,A2,A3重合于一点A.
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(Ⅰ) 求证:AB⊥CD;
(Ⅱ)已知A1D=10,A1A2=8,试求:AC与平面BCD所成角的正弦值.
(1)要证AB⊥CD,先证AB⊥面ACD,在其展成的平面图形中A1B⊥A1D,A2B⊥A2C,从而得到AB⊥AC,AB⊥AD,可得线面垂直,即可得线线垂直. (2)要求AC与平面BCD所成角的正弦值,首先根据题意求出四面体ABCD的体积与S△BCD=36,再根据等体积法得到VB-ACD=VA-BCD,进而得到点A到平面BCD的距离,即得到答案. 【解析】 (I)证明:因为A1A2A3D为直角梯形, 所以A1B⊥A1D,A2B⊥A2C. 即在第二个图中,AB⊥AC,AB⊥AD. 又因为AC∩AD=A, ∴AB⊥面ACD. ∵CD⊂面ACD, ∴AB⊥CD. (II)在第一个图中,作DE⊥A2A3于E, ∵A1A2=8,∴DE=8, 又∵A1D=A3D=10, ∴EA3=6,∴A2A3=10+6=16. 而A2C=A3C,∴A2C=8,即第二个图中AC=8,AD=10. 由A1A2=8,A1B=A2B,可得第二个图中AB=4. 所以, 由(I)知,AB⊥面ACD,所以. 设点A到平面BCD得距离为h, 由右边图象可得:-=36. 因为VB-ACD=VA-BCD, 所以,所以h=. 设AC与平面BCD所成角为α,所以sinα==.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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