Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当0＜L＜1时，对于任意x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）|≤L|x₁-x₂|都成立，数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n=1，2，…
（1）证明：；
（2）令．

Answer

（1）因为an+1=f（an），当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|．所以=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|，由此能够证明．
（2）由A，知=．因为an+1=f（an），n=1，2，…，
故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|，所以．由Ak=，≤|．+…+k|ak-ak+1|．所以+…+|An-An+1|≤．
（1）证明：∵an+1=f（an），n=1，2，3，…，
故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|
=L|f（an-2）-f（an-1）|≤L2|an-2-an-1|
≤…≤Ln-1|a1-a2|．
∴=|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|
≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|
=．
∵0＜L＜1，
∴；
（当n=1时，不等式也成立．）
（2）证明：∵A，
∴
=．
①∵an+1=f（an），n=1，2，…，
故当n≥2时，|an-an+1|=|f（an-1）-f（an）|≤L|an-1-an|=L|f（an-2）-f（an-1）|
≤L2|an-2-an-1|≤…≤Ln-1|a1-a2|
．…6分
∴
≤（1+L+L2+…+Ln-1）|a1-a2|…7分
=|．…8分
∵0＜L＜1，
∴（当n=1时，不等式也成立）．…9分
②∵Ak=，
∴|

=|
=|

≤． …11分
∴

=

≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|≤|．…14分
+…+k|ak-ak+1|，
∴+…+|An-An+1|
≤
+3+…+n
=++…+
≤|a1-a2|+|a2-a3|+…+|an-an+1|
≤．