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已知椭圆C:,左焦点,且离心率 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若直线l:y=kx...

已知椭圆C:manfen5.com 满分网,左焦点manfen5.com 满分网,且离心率manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)若直线l:y=kx+m(k≠0)与椭圆C交于不同的两点M,N(M,N不是左、右顶点),且以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A.求证:直线l过定点,并求出定点的坐标.
(I)由题设知c=,,由此能求出椭圆C的方程. (II)设M(x1,y1)  N(x2,y2),右顶点A(2,0),,由以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A,知(2-x2)(2-x1)+y1y2=0,由y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,知4+(km-2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0.把y=kx+m代入椭圆方程,得(+k2)x2+2kmx+m2-1=0,再由韦达定理结合题设条件能求出该定点坐标. (I)【解析】 ∵椭圆C:, 左焦点,且离心率, ∴c=,, ∴a=2,b2=4-3=1, ∴椭圆C的方程. (II)证明:设M(x1,y1)  N(x2,y2), 右顶点A(2,0) , ∵以MN为直径的圆经过椭圆C的右顶点A, ∴(2-x2)(2-x1)+y1y2=0, ∵y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2 ∴4+(km-2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+m2=0  ① 把y=kx+m代入椭圆方程, 得+(kx+m)2=1, 整理,得(+k2)x2+2kmx+m2-1=0, 所以x1x2=,x1+x2=-,② 把②入①,得 4+(km-2)•(-)+(1+k2)•+m2 =(5m2+16km+12k2)÷(1+4k2) =(m+2k)(5m+6k)÷(1+4k2) =0 所以m+2k=0 或者 m+k=0 当m+2k=0时,直线y=kx-2k恒过点(2,0)和A点重合显然不符合 当m+k=0时 直线恒过点(,0)符合题意 所以该定点坐标就是(,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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