Question

已知数列{a_n}满足a₁=，且对任意n∈N^*，都有．
（Ⅰ）求证：数列为等差数列；
（Ⅱ）试问数列{a_n}中a_k-a_k+1（k∈N^*）是否仍是{a_n}中的项？如果是，请指出是数列的第几项；如果不是，请说明理由．
（Ⅲ）令，证明：对任意n∈N*，都有不等式成立．

Answer

（Ⅰ）条件可变形为anan+1+2an=4anan+1+2an+1，整理得2an-2an+1=3anan+1，两边同除以anan+1，可得，从而可得数列是以为首项，公差为的等差数列．                    
（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以，从而可得=．只需证明是正整数即可．
（Ⅲ）由（II）知：，．下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．对于当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2，从而可证．
【解析】
（Ⅰ）∵
∴anan+1+2an=4anan+1+2an+1，
即2an-2an+1=3anan+1，
所以
所以数列是以为首项，公差为的等差数列．                    
（II）由（Ⅰ）可得数列的通项公式为，所以
∴=．             
因为
当k∈N*时，一定是正整数，所以是正整数．
所以ak-ak+1是数列{an}中的项，是第项．                 
（Ⅲ）证明：由（II）知：，．
下面用数学归纳法证明：2n+4＞（n+4）2对任意n∈N*都成立．
（1）当n=1时，显然25＞52，不等式成立．
（2）假设当n=k（k∈N*）时，有2k+4＞（k+4）2，
当n=k+1时，2（k+1）+4=2•2k+4＞2（k+4）2=2k2+16k+32=（k+5）2+k2+6k+7＞（k+5）2
即有：也成立．
综合（i）（ii）知：对任意n∈N*，都有不等式成立．