Question

已知O为坐标原点，，，=（0，a），，记、、中的最大值为M，当a取遍一切实数时，M的取值范围是    ．

Answer

由已知中，，=（0，a），，我们记、、中的最大值为M，若a=0（A，B，O三点重合）时，则当P落在OC的中点上时，M取最小值；若a=7（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值；其它情况下，M落在△ABC的外心上时，M取最小值．三种情况下M均无最大值，故分类讨论出M的最小值，即可得到答案．
【解析】
∵，，=（0，a），
当a=0时，M≥
当a=7时，（A，B，C三点共线）时，则当P落在AB的中点上时，M取最小值，M
当a≠0，且a≠7时，当P落在△ABC的外心Q上时，且Q最小时，M有最小值
∵Q所在的直线与AB垂直，故Q落在直线y=x上
若PA2≥PB2，则y≥x；
当y≥x时M2=max{PA2，PC2}
∵到点C的距离等于到x轴的距离的点的轨迹是抛物线：（x-3）2=8（y-2），
交直线y=x于P（7-2，7-2），
∴Mmin=7-2，∴当a=2时，M取最小值7-2，
故M的取值范围是
故答案为：