Question

已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD'的中点．
（Ⅰ）求证：OM⊥平面BDD′；
（Ⅱ）A′B′上是否存在点N使A′N∥面MCD′，并证明你的结论；
（Ⅲ）求三棱锥M-OBC的体积．

Answer

解法一：（1）连接AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK，证明AK⊥平面BDD′B′，AK⊥BD′，MO⊥BD′，即可证明OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（2）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′过点N作NH⊥BC′于H，连接MH，说明MHN为二面角M-BC′-B′的平面角，在Rt△MNH中，求出tan∠MHN，可得二面角M-BC′-B′的大小为arctan2
（3）通过VM-OBC=VM-OA′D′=VO-MA′D′求出底面面积与高即可求出体积．
解法二：以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz，求出A，B，C，A′，C′，D′，坐标
（1）求出M，O的坐标，得到，，，通过=0，=0，
证明OM⊥AA′，OM⊥BD′，即可证明故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线．
（2）求出平面BMC′的一个法向量为，平面BC′B′的一个法向量为，利用cos，求出二面角M-BC′-B′的大小．
（3）求出S△OBC与S△BCD'A，求出设平面OBC的一个法向量为，点M到平面OBC的距离d=，
然后求出VM-OBC．
解法一：（1）连接′AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连接OK
因为M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以AM∥DD′∥OK，AM=DD′=OK，
所以MO∥AK，MO=AK，
由AA′⊥AK，得MO⊥AA′
因为AK⊥BD，AK⊥BB′，所以AK⊥平面BDD′B′
所以AK⊥BD′
所以MO⊥BD′
又因为OM是异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线
（2）取BB′中点N，连接MN，则MN⊥平面BCC′B′
过点N作NH⊥BC′于H，连接MH
则由三垂线定理得BC′⊥MH
从而，∠MHN为二面角M-BC′-B′的平面角
MN=1，NH=Bnsin45°==
在Rt△MNH中，tan∠MHN==2．
故二面角M-BC′-B′的大小为arctan2
（3）易知，S△OBC=S△OA′D′，且△OBC和△OA′D′都在平面BCD′A′内
点O到平面MA′D′距离h=，
VM-OBC=VM-OA′D′=VO-MA′D′=S△MA′D′h=
解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A′（1，0，1），C′（0，1，1），D′（0，0，1）
（1）因为点M是棱AA′的中点，点O是BD′的中点
所以M（1，0，），O（，，）
，=（0，0，1），=（-1，-1，1）
=0，+0=0，
所以OM⊥AA′，OM⊥BD′
又因为OM与异面直线AA′和BD′都相交
故OM为异面直线AA′和BD′的公垂线．…（4分）
（2）设平面BMC′的一个法向量为=（x，y，z）
=（0，-1，），=（-1，0，1）
  即
取z=2，则x=2，y=1，从而=（2，1，2）
取平面BC′B′的一个法向量为=（0，1，0）
cos，
由图可知，二面角M-BC′-B′的平面角为锐角
故二面角M-BC′-B′的大小为arccos…（9分）
（3）易知，S△OBC=S△BCD'A′=
设平面OBC的一个法向量为=（x1，y1，z1）
=（-1，-1，1），=（-1，0，0）
  即
取z1=1，得y1=1，从而=（0，1，1）
点M到平面OBC的距离d=，
VM-OBC=…（12分）